磨削過程與磨削表面殘余應(yīng)力關(guān)系的數(shù)學(xué)模型

1 磨削表面殘余應(yīng)力的形成機理
塑性凸出效應(yīng)的影響
        磨削時，由于磨粒切刃具有大的負前角，變形區(qū)的塑性變形非常嚴重，在磨粒刃尖前方區(qū)域?qū)⑿纬蓮?fù)雜的應(yīng)力狀態(tài)。在磨粒切刃剛走過的表面部分上，沿表面方向出現(xiàn)塑性收縮、而在表面的垂直方向出現(xiàn)拉伸塑性變形——這就是塑性凸出效應(yīng)，結(jié)果磨削表面出現(xiàn)殘余拉應(yīng)力。
擠光作用的影響
         在切削加工過程中，刀具和工件之間會產(chǎn)生作用力。垂直于被加工表面的作用力和由此產(chǎn)生的摩擦力一起對被加工表面產(chǎn)生擠光作用。當(dāng)?shù)度胁讳h利或切削條件惡劣時，擠光作用的影響更為明顯，擠光作用會使零件表面產(chǎn)生殘余壓應(yīng)力。
熱應(yīng)力的影響
        磨削時，磨削表面層在磨削熱的作用下產(chǎn)生熱膨脹，而此時基體溫度較低，磨削表面層的熱膨脹受到基體的限制而產(chǎn)生壓縮應(yīng)力。當(dāng)表面層的溫度超過材料的彈性變形所允許的溫度時，表面層的溫度下降至與基體溫度一致時，表面層產(chǎn)生殘余拉應(yīng)力。
磨削液冷卻效應(yīng) 
        磨削過程中，由于磨削液的使用，磨削表面層在冷卻過程中會產(chǎn)生一個降溫梯度，它與熱應(yīng)力的影響剛好相反，它可減緩由熱應(yīng)力造成的表面殘余拉應(yīng)力。
        磨削過程中，除了上述影響殘余應(yīng)力的因素外，還有表面層的二次淬火及表層的回火現(xiàn)象。
2 磨削表面殘余應(yīng)力數(shù)學(xué)模型的建立
        通過上述分析可知，影響磨削表面殘余應(yīng)力的主要因素可歸納為：磨削力、磨削溫度和磨削液的冷卻性。力和溫度是磨削過程中產(chǎn)生的兩種磨削現(xiàn)象，直接對殘余應(yīng)力產(chǎn)生影響；而磨削液對殘余應(yīng)力的影響，一方面是通過表面的降溫過程直接產(chǎn)生的，另一方面是通過對力和溫度的影響間接產(chǎn)生的。本文試圖通過對力和溫度的試驗數(shù)據(jù)，以及磨削表面二維殘余應(yīng)力測試數(shù)據(jù)的數(shù)學(xué)處理，給出一種反映力、溫度和磨削液的冷卻性能與表面殘余應(yīng)力關(guān)系的數(shù)學(xué)模型。數(shù)學(xué)模型中應(yīng)包括上述影響磨削表面殘余應(yīng)力的因素，即 s_RT=s_F+s_R+s_L
式中：s_RT——磨削表面殘余應(yīng)力
s_F——磨削力的影響
s_R——磨削溫度的影響
s_L——磨削液冷卻性能的影響
1) 磨削力與殘余應(yīng)力關(guān)系的數(shù)學(xué)模型
    首先依據(jù)圖1所示的模型來分析殘余應(yīng)力與塑性變形之間的關(guān)系。圖1a為自由狀態(tài)下的兩個彈簧，圖1b為兩個彈簧被放入剛性板之間的狀態(tài)。根據(jù)平衡條件可得出
N=k1k2(l1-l2)/(k1+k2)
式中：N——兩個彈簧被放入剛性板后彈簧的內(nèi)力
l1、l2——兩個彈簧在自由狀態(tài)下的長度
k1、k2——兩個彈簧的彈性系數(shù) 
    l1-l2可看作是本文意義上的塑性變形。從上式中可得出，內(nèi)力與塑性變形呈正比，即殘余應(yīng)力與塑性變形呈正比。

圖1 殘余應(yīng)力與塑性變形關(guān)系模型

圖2為應(yīng)力s與應(yīng)變e關(guān)系的簡化模型。從圖中可知 e_B=(s_B-s_S)/E₁+e_S  e＇_A=e_B/E
式中：s_S——材料的屈服限
s_B——某一磨削條件下的應(yīng)力
E——材料的彈性模量
E₁——常數(shù) 
  
圖2 應(yīng)力σ與應(yīng)變關(guān)系簡化模型根據(jù)圖2可得出，當(dāng)外力釋放后，B點處應(yīng)變e_B沿斜率OA釋放后殘留為e_p=e_B-e＇_A=(s_B-s_S)/E+e_S+s_B/上式說明，塑性變形與力呈線性關(guān)系。
綜合上述分析可以認可，殘余應(yīng)力與磨削力呈線性關(guān)系，兩者關(guān)系可表示為 s_F=AF+D₁ (1) 式中：A、D1——系數(shù)
F——磨削力(可采用切向力)

2)磨削溫度與殘余應(yīng)力關(guān)系的數(shù)學(xué)模型

圖3

    由熱應(yīng)力產(chǎn)生的殘余應(yīng)力可用圖3來進行分析。當(dāng)磨削區(qū)溫度升高時，表面層受熱膨脹產(chǎn)生壓縮應(yīng)力σ，該應(yīng)力隨溫度升高而線性增大，其值大致為 s=a′EDq
式中：a′——線膨脹系數(shù)
E——材料的彈性模量
Dq——溫升 
    當(dāng)磨削溫度繼續(xù)升高至q_A時，熱應(yīng)力達到材料的屈服限，如溫度再升高(q_A→q_B),表面層將產(chǎn)生塑性變形，熱應(yīng)力值將停留在材料不同溫度時的屈服限處。磨削完畢，表面層溫度下降，熱應(yīng)力按原斜率s_B下降(沿BC曲線)，直到與基體溫度一致，這時表面產(chǎn)生殘余拉應(yīng)力。其值為s_q=s_D-s_B    s_D=a′Eq_B
如果認為s_B與溫度呈線性關(guān)系，那么，可得到磨削溫度與殘余應(yīng)力關(guān)系的數(shù)學(xué)模型為
s_q=a′Eq_B-B₀q_B+D₂=Bq+D₂
式中 B0、B、D2——系數(shù)
θ——磨削區(qū)最高溫度
3) 磨削液冷卻性能與磨削表面殘余應(yīng)力關(guān)系的數(shù)學(xué)模型
    磨削區(qū)溫度越高、磨削液冷卻系數(shù)越大時，下層表面層的溫差越大，對熱應(yīng)力造成的殘余應(yīng)力降低的也越多。磨削液冷卻性能對表面殘余應(yīng)力的影響與表面溫度有關(guān)，因此，將磨削液與磨削表面殘余應(yīng)力關(guān)系的數(shù)學(xué)模型表示為 s_L=Cqa+D₃
式中 C、D3——系數(shù)
α——磨削液冷卻系數(shù)
綜合式(1)、(2)、(3)可得出磨削過程與磨削表面殘余應(yīng)力關(guān)系的數(shù)學(xué)模型如下
s_RT=AF+Bq+Cqa+D
式中 A、B、C、D——反映磨削力、磨削溫度、磨削液冷卻性能影響磨削表面殘余應(yīng)力的系數(shù)
3 數(shù)學(xué)模型的回歸計算及分析
1) 數(shù)學(xué)模型的回歸計算
    根據(jù)式(4)表示的殘余應(yīng)力的數(shù)學(xué)模型，用最小二乘法可得出如下的正規(guī)方程組

    本文中，N=6，表1為一組實測數(shù)據(jù)的計算表(殘余應(yīng)力單位是：MPa，以下同)。解正規(guī)方程組可得A=45.77 B=1.98 C=-6×10^-4 D=-1.47由此可得到擬合結(jié)果如下
s_RT=45.77F+1.98q—6×10^-4q a—1.47

表1 回歸計算表

2) 數(shù)學(xué)模型計算結(jié)果的分析 
    表2為計算結(jié)果的誤差分析表。其中s^*_i為計算值、s_i為測量值、D_i=|s^*_i-s_i|。最大的擬合誤差5.5%。

表2 誤差分析表

4 結(jié)束語
    本文提出了一種新的研究磨削表面殘余應(yīng)力的方法，即用反映磨削過程的力、溫度、磨削液冷卻系數(shù)這3個綜合指標(biāo)，來研究磨削表面殘余應(yīng)力，并給出了數(shù)學(xué)模型。該數(shù)學(xué)模型反映了磨削表面殘余表面應(yīng)力的形成機理，該方法同其它單因素研究方法相比，具有廣泛的可比性。