六自由度關(guān)節(jié)式坐標(biāo)測量機(jī)關(guān)節(jié)零位偏差的標(biāo)定算法

1．引言

　　六自由度關(guān)節(jié)式坐標(biāo)測量機(jī)是一種新型的非笛卡爾式坐標(biāo)測量機(jī)。它仿照人體關(guān)節(jié)結(jié)構(gòu)，以角度基準(zhǔn)取代長度基準(zhǔn)，將六個(gè)桿件和一個(gè)測頭通過六個(gè)旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)串聯(lián)連接，一端固定在機(jī)座上，另一端（測頭）可在空間自由運(yùn)動，構(gòu)成一個(gè)六自由度的封閉球形測量空間。與傳統(tǒng)的笛卡爾式三坐標(biāo)測量機(jī)相比，它具有機(jī)械結(jié)構(gòu)簡單，體積小，測量范圍大，靈活方便等優(yōu)點(diǎn)，主要應(yīng)用于CAD／CAM中三維模型表面數(shù)字化和大型零部件幾何尺寸的現(xiàn)場檢測等領(lǐng)域^{［1，2］}。

　　六自由度關(guān)節(jié)式坐標(biāo)測量機(jī)在裝配過程中，由于角度光電編碼器的零位與關(guān)節(jié)結(jié)構(gòu)的理論零位不重合而產(chǎn)生的角度偏差，稱為關(guān)節(jié)零位偏差。其特點(diǎn)是：各關(guān)節(jié)的零位偏差各不相同；由于裝配工藝誤差不可避免，關(guān)節(jié)零位偏差較大（約±3°）；對于每臺裝配好的關(guān)節(jié)式坐標(biāo)測量機(jī)，各關(guān)節(jié)零位偏差值固定不變，屬于系統(tǒng)誤差。由于桿長的放大作用，關(guān)節(jié)零位偏差在末端測頭處產(chǎn)生很大的位姿誤差。因此，為了補(bǔ)償關(guān)節(jié)零位偏差，提高測量精度，對關(guān)節(jié)式坐標(biāo)測量機(jī)進(jìn)行標(biāo)定是非常重要的。

　　2．?dāng)?shù)學(xué)模型

圖　六自由度關(guān)節(jié)式坐

　　標(biāo)測量機(jī)結(jié)構(gòu)模型六自由度關(guān)節(jié)式坐標(biāo)測量機(jī)從機(jī)械結(jié)構(gòu)上可以看成是串聯(lián)的開式運(yùn)動鏈。其結(jié)構(gòu)模型如圖所示（各坐標(biāo)系的Y軸由“右手法則”確定）。

　　參見圖示，將測頭局部坐標(biāo)系O₇-X₇Y₇X₇相對于基座參考坐標(biāo)系O₀-X₀Y₀Z₀的位姿記為T₀₇，這是一個(gè)4×4的齊次矩陣，可描述為

T₀₇＝A₀₁A₁₂A₂₃A₃₄A₄₅A₅₆A₆₇　　　　　　　�。�1）

式中，A_i-1i（i＝1，…，7）是桿件i相對于桿件i－1的齊次位姿變換矩陣。Denavit和Hartenberg在1995年提出了兩個(gè)相互連接且相對運(yùn)動的構(gòu)件之間相互關(guān)系的分析方法，并給出了相應(yīng)的齊次變換矩陣^［3］，即

　　　　　　�。�2）

式中，θ_i是關(guān)節(jié)的轉(zhuǎn)角，這里是變量，稱為關(guān)節(jié)變量；φ_i是相鄰關(guān)節(jié)旋轉(zhuǎn)軸線的夾角，這里近似為直角；a_i是相鄰關(guān)節(jié)軸線沿空間公垂線的距離，這里近似為0；d_i是相鄰桿件坐標(biāo)原點(diǎn)沿Z軸之間的距離，這里稱為桿長。

　　對于多關(guān)節(jié)坐標(biāo)測量機(jī)，測頭在空間的姿態(tài)并不重要，而測頭的空間位置坐標(biāo)則是需要得到的。將式（1）、（2）合并后，測頭位置坐標(biāo)方程為

　　P＝（R₁R₂R₃R₄R₅R₆）q₇＋（R₁R₂R₃R₄R₅）q₆＋R₁R₂R₃R₄）q₅

　　　　＋（R₁R₂R₃）q₄＋（R₁R₂）q₃＋R₁q₂＋q₁　　　　　　　　　　　　（3）

式中包括三個(gè)坐標(biāo)分量方程，都是關(guān)節(jié)變量的函數(shù)，即

P＝F（θ₁，θ₂，θ₃，θ₄，θ₅，θ₆）　　　　　　　（4）

　　為了得到關(guān)節(jié)零位偏差與測頭位置誤差之間的關(guān)系，假設(shè)關(guān)節(jié)零位偏差足夠小，對式（4）求全微分，近似得到測頭位置誤差方程為^［4］

　　　　　（5）

　　將式（5）用矩陣方式簡單描述，即

ΔP＝J_δΔδ　　　　　（6）

式中　ΔP＝（ΔP_x　ΔP_y　ΔP_z）^T

　　

　　Δδ＝（Δθ₁　Δθ₂　Δθ₃　Δθ₄　Δθ₅　Δθ₆）^T

　　由式（4）和式（6）即可得到描述關(guān)節(jié)零位偏差與測頭位置誤差之間關(guān)系的線性方程。

　　3．標(biāo)定算法

　　為測定各關(guān)節(jié)零位偏差值，需要一系列已知標(biāo)準(zhǔn)位置坐標(biāo)，這些標(biāo)準(zhǔn)位置坐標(biāo)可以通過高精度的三坐標(biāo)測量機(jī)測得。設(shè)有m個(gè)標(biāo)準(zhǔn)位置坐標(biāo)，關(guān)節(jié)式坐標(biāo)測量機(jī)的測頭分別觸測這些標(biāo)準(zhǔn)位置，由光電編碼器分別得到相應(yīng)的關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角，將這些關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角分別代入方程式（4），計(jì)算出測頭的理論位置坐標(biāo)，然后與標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)比對，得到m個(gè)測頭位置誤差。把這些數(shù)據(jù)代入式（6），可得到3×m個(gè)位置誤差方程，即

ΔQ＝GΔδ　　　　　（7）

其中

式（7）中有6個(gè)未知量，只要3×m＞6，則可運(yùn)用最小二乘法求解出關(guān)節(jié)零位偏差，即

Δδ＝（G^TG）^－1G^TΔQ　　　　　（8）

　　把計(jì)算出的關(guān)節(jié)零位偏差值作為零位偏差的修正量代入式（4），計(jì)算出新的測頭位置坐標(biāo)，然后將新的位置誤差和新的系數(shù)矩陣代入式（7），再重復(fù)式（8）的計(jì)算。經(jīng)過以上的反復(fù)迭代過程，直到測頭位置誤差小于設(shè)定值，最后獲得最優(yōu)解，即最接近實(shí)際的關(guān)節(jié)零位偏差值。

　　4．仿真驗(yàn)算

　　為了進(jìn)行計(jì)算機(jī)仿真驗(yàn)算，首先設(shè)定六自由度關(guān)節(jié)式坐標(biāo)測量機(jī)的結(jié)構(gòu)參數(shù)（φ_i，a_i，d_i），并假設(shè)關(guān)節(jié)零位偏差（Δθ_i），具體數(shù)值列于表1。

表1　六自由度關(guān)節(jié)式坐標(biāo)測量機(jī)結(jié)構(gòu)參數(shù)

桿件 序號	φi（°）	ai（mm）	di（mm）	零位偏差 Δθi（°）
1	－90．1	0．01	99．85	2．4
2	90．05	0．02	151．38	�。�2．05
3	90	�。�0．01	448．6	－1．5
4	�。�89．9	�。�0．03	101．1	2．2
5	�。�90．05	0．01	352．2	1．2
6	89．35	0．005	99．75	�。�1．8
7	0	0	150．25	0

在驗(yàn)算中，對標(biāo)定算法重復(fù)進(jìn)行了三次仿真計(jì)算。每次隨機(jī)選取3組關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角組合，根據(jù)表1中的結(jié)構(gòu)參數(shù)和關(guān)節(jié)零位偏差，按式（4）計(jì)算出3個(gè)標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)際）的空間坐標(biāo)矢量。同時(shí)，不考慮零位偏差，計(jì)算出3個(gè)理論坐標(biāo)矢量，并得到相應(yīng)的誤差矢量。根據(jù)式（5）、（6）、（7），可得到9個(gè)誤差方程。利用式（8）求解出6個(gè)關(guān)節(jié)零位偏差值。為了獲得更準(zhǔn)確的數(shù)據(jù)，采用迭代算法，將計(jì)算出的關(guān)節(jié)零位偏差值代入式（4）修正理論模型，重復(fù)以上過程，直到空間位置誤差小于一設(shè)定值（這里設(shè)為0．3mm）。三次仿真計(jì)算的結(jié)果列于表2。 表2　仿真驗(yàn)算結(jié)果

仿真 次數(shù)

關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角組合 （θ1，…，θ6） （°）

標(biāo)準(zhǔn)坐 標(biāo)矢量 （mm）

位置 誤差 （mm）

迭代1次

迭代2次

迭代3次

迭代4次

零位 誤差 （°）

位置 誤差 （mm）

零位 誤差 （°）

位置 誤差 （mm）

零位 誤差 （°）

位置 誤差 （mm）

零位 誤差 （°）

位置 誤差 （mm）

1

（-90，-90，0，90， 0，90）

138．558 575．782 -283．282

39．968

2．406 -2．063 -1．432 2．177 1．776 -1．375

1．717

2．406 -2．063 -1．490 2．177 1．719 -1．776

1．483

2．406 -2．063 -1．490 2．177 1．203 -1．776

0．148

2．406 -2．063 -1．492 2．182 1．203 -1．781

0．146

（120，90，120，-20， 70，50）

-652．092 645．842 202．687

30．043

1．201

0．955

0．206

0．206

（-90，0，0，90， 0，0）

142．57 522．883 503，83

49．592

0．732

0．801

0．244

0．232

2

（-90，10，10，90， 10，10）

61．557 434．09 594．691

49．319

2．521 -1．948 -1．432 2．464 1．146 -1．261

1．479

2．406 -2．063 -1．490 2．181 1．203 -1．781

0．212

（0，90，0，-90， 0，90）

320．85 157．437 -251．305

23．654

1．155

0．230

<

<

（-120，140，20，60， 10，150）

-148．998 -518．998 -237．442

39．30

2．176

0．082

3

（50，-80，50，40， -60，40）

-463．903 -760．076 176．659

73．57

2．349 -2．120 -1．432 2．292 1．146 -1．432

0．603

2．406 -2．063 -1．490 2．180 1.203 -1．781

0．068

（10，80，30，150， 30，140）

186．165 160．292 290．97

26．475

0．894

0．069

<

<

（40，30，60，150， 90，-90）

179．32 102．388 101．179

17．161

0．898

0．122

　　由仿真驗(yàn)算結(jié)果可得出以下結(jié)論：

　�。�1）較小的關(guān)節(jié)零位偏差會引起很大的測頭位置誤差，最大可達(dá)73．57mm；

　　（2）本文給出的標(biāo)定算法是正確的，經(jīng)標(biāo)定得出的關(guān)節(jié)零位偏差值與設(shè)定的真值近似，最大誤差為0．02°；

　�。�3）迭代算法是收斂的，一般不超過4次迭代；

　　（4）三次仿真計(jì)算所得結(jié)果相同，說明只要在測量空間任取三點(diǎn)，即可準(zhǔn)確且唯一地標(biāo)定出6個(gè)關(guān)節(jié)零位偏差。

　　5．結(jié)語

　　本文在Denavit-Hartenberg方法基礎(chǔ)上，建立了六自由度關(guān)節(jié)式坐標(biāo)測量機(jī)的數(shù)學(xué)模型。從模型可以看出，測頭末端位置坐標(biāo)與六個(gè)關(guān)節(jié)角度之間的關(guān)系是非線性的，這對于由已知空間坐標(biāo)值來推算關(guān)節(jié)零位偏差是相當(dāng)困難的。因此，我們運(yùn)用全微分方法，求得了關(guān)節(jié)零位偏差與測頭末端位置誤差之間的線性關(guān)系，從而大大簡化了標(biāo)定過程。在已知空間點(diǎn)坐標(biāo)情況下，應(yīng)用最小二乘法和有限次數(shù)的迭代運(yùn)算，求出最優(yōu)的關(guān)節(jié)零位偏差值。最后，通過計(jì)算機(jī)仿真驗(yàn)算，證明了該算法的正確性。該標(biāo)定算法也完全適用于其它結(jié)構(gòu)參數(shù)誤差的標(biāo)定。該標(biāo)定算法對提高六自由度關(guān)節(jié)式坐標(biāo)測量機(jī)的測量精度具有重要意義。