基于三坐標測量機的四次EB樣條曲線曲面的應用

摘要　文章討論了四次EB樣條的構造、算法及性質，論述了三坐標測量機檢測數據的四次EB樣條曲線曲面的擬合，運用快速迭代算法建立了被測零件輪廓面的誤差評定模型。并給出了應用實例。

關鍵詞　三坐標測量機　EB樣條　誤差評定

Application of quartic BE-spline based on CMM

Chen Hua, et al

　　在復雜機械零件（如弧面分度凸輪）、模具等帶有復雜三維空間曲面零件制造、測量及CAD的造型中，常常需要對三維空間曲面進行描述與控制，從而在計算機屏幕上生成圖形或滿足NC加工的需要、或將測量的數據擬合成樣條曲面（曲線）以滿足誤差評定的需要。本文討論的四次EB樣條曲線曲面通過引入幾何意義十分明顯的可調參數，大大提高了曲線曲面的擬合程度。

1　四次EB樣條

1.1　四次EB樣條曲線

　　四次EB樣條曲線P_i(t)是由基本曲線G_i(t)經調配曲線F_i(t)調配而成的。即

P_i（t）=G_i（t）+kF_i（t）

(0≤t≤1;i=1,2…，n-3) (1)

　　引入k值可以通過改變它對曲線的形狀進行調整，使其與特征多邊形的差異可大可小。當k=0時，P_i（t）=G_i（t），四次EB樣條曲線就是基本曲線，成為特征頂點的插值曲線�；�本曲線段的起始點和終止點通過相應的特征多邊形頂點r_i+1,r_i+2;如果按某種方式拓寬兩個控制頂點r₀和r_n+1,則可使曲線｛G_i（t）｝通過所有的給定頂點r₁,r₂，…，r_n。如果這n個給定點是某條曲線上的型值點，則曲線就是這n個型值點的插值曲線^［1］。

　　四次EB樣條曲線的矢值方程式為

1.2　四次EB樣條曲面

　　四次EB樣條曲面可以看作是U、V兩個方向EB樣條曲線的直積。給定m×n個空間位置向量r_i,j(i=1,2,…,n;j=1,2,…,m)構造曲面，其矢值方程式為

1.3　四次EB樣條的特性^［2］

　　（1）由于在EB樣條方程中引入了一個幾何意義比較明顯的參量K，使設計者能直觀地對樣條曲線（曲面）的形狀進行調整，從而使特征多邊形的差異可大可小。

　�。�2）四次EB樣條可應用給定的一些特殊的特征頂點來生成含有直線和尖點的曲線。

　�。�3）四次EB樣條曲線段端點處的切矢僅與基本曲線段有關，而與調配曲線段無關。

　�。�4）用四次EB樣條曲線（曲面）作插值曲線（曲面）時，其設計方法和計算方法均不變，僅需將參量K取為零，這對計算程序的編制極為有用。

　　(5)當K=1/6時，四次EB樣條曲線（曲面）又成了B樣條曲線（曲面）。由此可見，四次EB樣條曲線（曲面）是B樣條曲線（曲面）的拓廣。

2　測量數據擬合曲面的誤差評定

　　在評定三坐標測量機的擬合曲面與實測數據間的誤差時，需計算空間實測點到擬合曲面的距離。本文運用了一種快速迭代收斂算法^{［3，4］}求空間任一點到擬合曲面的距離。

　　設P（x，y，z）為曲面外空間一點，求P點到參數曲面∑s（u，w）的距離。其中Q_i（u_i,w_i）為曲面上任意一點，作為P點在曲面上的映射點，是迭代初始點。Q_i+1（u_i+1,w_i+1）為P點在曲面上的垂足。∑s(u,w)為Q_i點的切平面，S為PQ_i+1在切平面上的交點。當Q_i與Q_i+1重合時,PQ_i+1為所求點到曲面的距離。Q^u_i,Q^w_i為Q_i在u,w方向上的兩個切向量。因此有

　　若PQ_i+1為點到曲面的距離，則必然S與Q_i+1重合，S亦為該點在曲面上的垂足。根據微分幾何點到平面的距離為最小距離的條件得

　　搜索方法是，求出（11）式中的Δu,Δw。當（Δu、Δw）＞ε時（ε是任意給定小的正數），用Q_i+1代替Q_i進行下一輪計算。當（Δu、Δw）＜ε時迭代停止，此時

PQ_i+1=P-Q_i+1=P-Q_i=P-S=d

由于規(guī)定曲面法矢指向實體之外，所以P在實體之外時d＞0,P在實體之內時d＜0。

3　應用實例

　　弧面分度凸輪機構（見圖2）由于結構緊湊,傳遞扭矩大，特別適用于高速、高精度分度。因其分度運動曲線，可設計成適于各種工作場合的最優(yōu)運動曲線，從而在運動平穩(wěn)性、降噪、延長機構使用壽命等方面都具有良好性能。圖3是由四次EB樣條生成的弧面分度凸輪張量積曲面的輪廓面光照圖，其形狀為一空間螺旋帶。

　　在秦川機床廠和慶安公司的協(xié)助下，分別用LK及UKM三坐標測量機，以徑向、旋向兩種方法對弧面分度凸輪的樣件進行了測量。根據以上的測量和誤差評定方法，用Visual C++開發(fā)了弧面分度凸輪的誤差評定軟件。取樣件設計參數見附表。圖4所示為樣件在R=57mm的螺旋線上的誤差曲線圖。該零件設計要求：曲線誤差± 0.05mm，輪廓度公差帶為0.1mm的雙向等距配置。對該零件的評定結果為：凸輪半徑57mm的螺旋線輪廓度誤差0.147mm，面輪廓度誤差 0.165mm。

測量樣件設計參數表

圖4　旋向掃描螺旋線誤差曲線