三坐標(biāo)測量機(jī)動態(tài)誤差的建模方法

摘要　為了提高三坐標(biāo)測量機(jī)的測量速度，縮短測量周期，分析了影響給定的三坐標(biāo)測量機(jī)動態(tài)誤差的因素。對三坐標(biāo)測量機(jī)的具體結(jié)構(gòu)作了分析，用電感測微儀進(jìn)行了動態(tài)偏轉(zhuǎn)角誤差的測量，并推導(dǎo)出由動態(tài)偏轉(zhuǎn)誤差得到測頭處的動態(tài)位移誤差的方法。同時，對由導(dǎo)軌的直線度造成的誤差進(jìn)行了討論。指出動態(tài)誤差主要是由各構(gòu)件繞氣浮導(dǎo)軌連接處的偏轉(zhuǎn)和各運(yùn)動構(gòu)件本身的彎曲變形造成的。從理論上可以證明，在氣浮導(dǎo)軌力矩剛度和橫梁彎曲剛度已知的情況下，只要測量出兩側(cè)氣浮導(dǎo)軌滑架的偏轉(zhuǎn)角誤差，就可以得到測頭位置處的動態(tài)位移誤差。

關(guān)鍵詞　三坐標(biāo)測量機(jī)　動態(tài)　誤差　電感測微儀

    三坐標(biāo)測量機(jī)的靜態(tài)或準(zhǔn)靜態(tài)誤差主要由幾何誤差、構(gòu)件有限剛度造成的誤差、熱誤差3部分構(gòu)成［1］。往往采取誤差修正的方法來減小靜態(tài)或準(zhǔn)靜態(tài)誤差［2］。

    除了靜態(tài)或準(zhǔn)靜態(tài)誤差外，三坐標(biāo)測量機(jī)測量結(jié)果的精度還受到動態(tài)誤差的影響。測量機(jī)速度的加快使動態(tài)誤差對測量結(jié)果的影響更大。

    隨著三坐標(biāo)測量機(jī)的動態(tài)誤差對測量結(jié)果的影響越來越大，對三坐標(biāo)測量機(jī)動態(tài)誤差的研究也越來越受到人們的重視。動態(tài)誤差主要是由三坐標(biāo)測量機(jī)的結(jié)構(gòu)特性，如質(zhì)量的分布、構(gòu)件剛度、阻尼特性、控制及干擾力所決定的，由各構(gòu)件繞氣浮導(dǎo)軌連接處的偏轉(zhuǎn)和各運(yùn)動構(gòu)件本身的彎曲變形造成的［1］。當(dāng)測量速度較低時，這一誤差很小，可以忽略不計。當(dāng)測量速度較高時，尤其在高速掃描測量中，這一誤差對測量結(jié)果影響較大。

圖1　負(fù)載變化過程

    三坐標(biāo)測量機(jī)運(yùn)行過程中的典型負(fù)載變化情況見圖1。

    在對動態(tài)誤差的實驗研究中，往往測量各構(gòu)件繞氣浮導(dǎo)軌連接處的偏轉(zhuǎn)角誤差是比較容易的。各構(gòu)件的動態(tài)偏轉(zhuǎn)誤差綜合起來，成為測頭位置處的動態(tài)位移誤差。為估計這一誤差的大小，Weekers［1］等提出了一種運(yùn)動學(xué)模型。由于三坐標(biāo)測量機(jī)種類的多樣性，模型往往不具有普遍性。本文針對一種三坐標(biāo)測量機(jī)具體結(jié)構(gòu)，進(jìn)行了動態(tài)偏轉(zhuǎn)角誤差的測量，并推導(dǎo)出由動態(tài)偏轉(zhuǎn)誤差得到測頭處的動態(tài)位移誤差的方法。

1　理論分析

    實驗研究用測量機(jī)的結(jié)構(gòu)見圖2。橫梁帶動x-滑架及測頭沿y方向運(yùn)動，x-滑架在橫梁上沿x向移動，安裝在滑架上的z軸帶動測頭沿z向移動。所有的導(dǎo)軌都是氣浮導(dǎo)軌。其中在橫梁的左右兩端分別有對稱的x向氣浮導(dǎo)軌。在高速運(yùn)動過程中，橫梁本身、x-滑架及z軸的分布質(zhì)量作用在橫梁上，帶來了附加的慣性力，使橫梁相對于氣浮導(dǎo)軌處產(chǎn)生偏轉(zhuǎn)，并使橫梁產(chǎn)生動態(tài)彎曲，所有這些偏轉(zhuǎn)都將造成動態(tài)誤差。

圖2　測量機(jī)結(jié)構(gòu)

    橫梁的具體結(jié)構(gòu)見圖3。采用的坐標(biāo)軸系為機(jī)器坐標(biāo)系。A和B為氣浮導(dǎo)軌連接處。設(shè)A點到x-滑架之間的距離為a，B點到x-滑架之間的距離為b。由x-滑架和z軸的質(zhì)量帶來的集中慣性力為P，由橫梁的分布質(zhì)量帶來的均布慣性力載荷為q。

圖3　橫梁結(jié)構(gòu)

    在高速測量中，由于分布質(zhì)量產(chǎn)生的慣性力將使橫梁發(fā)生彎曲變形，而A、B的氣浮導(dǎo)軌也具有一定的剛度，使x-滑架相對于導(dǎo)軌也產(chǎn)生一定的偏轉(zhuǎn)。這樣，在A、B將有附加的力矩mA、mB作用，橫梁發(fā)生的是復(fù)雜變形。

    由于三坐標(biāo)測量機(jī)具體結(jié)構(gòu)和運(yùn)動的復(fù)雜性，在運(yùn)動過程中的慣性力的大小是很難確切知道的，所以要通過其它的途徑來解決這一問題。當(dāng)橫梁沿y軸運(yùn)動時，動態(tài)偏轉(zhuǎn)誤差是繞z軸的偏轉(zhuǎn)角，可以用εz(y)來表示。從理論上可以證明，在氣浮導(dǎo)軌力矩剛度和橫梁彎曲剛度已知的情況下，只要測量出氣浮導(dǎo)軌滑架A、B兩點的偏轉(zhuǎn)角誤差，就可以得到測頭位置處的動態(tài)位移誤差。

設(shè)在A、B點測得的動態(tài)偏轉(zhuǎn)角分別為εz(y)A、εz(y)B，則

設(shè)橫梁的彈性模量為E，慣性矩為I，則式(1)可以寫為

設(shè)氣浮導(dǎo)軌的力矩剛度為Kair，則

令Kbeam=EI，則式(2)可寫為

由式(3)可以解出

式中，λ=(1+a)/(b-a)。

設(shè)測頭位置處的動態(tài)位移誤差為δy(y)，則

將式(6)中各分量分別求出，得

(7)

(10)

    從以上可以看出，當(dāng)a和b的值比較接近時，(a-b)→0。用式(7)～式(10)得到的結(jié)果將有較大的不準(zhǔn)確性。為解決這一問題，我們除測量出氣浮導(dǎo)軌A、B兩點的偏轉(zhuǎn)角誤差εz(y)A、εz(y)B外，另外測量測頭位置處的偏轉(zhuǎn)角誤差εz(y)P。對于εz(y)P，有

式中，

代入式(11)并考慮到mA=Kairεz(y)A和mB=Kairεz(y)B，有

    將式(12)與式(3)聯(lián)立，即可解出P和q。測頭位置處的動態(tài)位移誤差為δy(y)可用與式(7)～式(10)類似的方法得出。

2　實驗過程及結(jié)果

    在實驗中，往往測量各構(gòu)件繞氣浮導(dǎo)軌連接處的偏轉(zhuǎn)角誤差是比較容易而且可行的。各構(gòu)件的動態(tài)偏轉(zhuǎn)誤差綜合起來，成為測頭位置處的動態(tài)位移誤差。測量各構(gòu)件繞氣浮導(dǎo)軌連接處的偏轉(zhuǎn)角誤差有很多方法，例如用激光干涉儀就可以準(zhǔn)確地得到測量結(jié)果。但是激光干涉儀的測量結(jié)果受環(huán)境參數(shù)影響較大，對使用環(huán)境要求較高。在實際中，往往希望用較簡單的方法來完成測量任務(wù)。為達(dá)到這一目的，我們在所研究的三坐標(biāo)測量機(jī)上用其它方法進(jìn)行了實驗，采用的儀器是微位移傳感器。實驗中實際應(yīng)用的是電感測微儀。

圖4

    以測量A點繞z軸的偏轉(zhuǎn)角εz(y)A為例（見圖4），2個經(jīng)過標(biāo)定的電感測微儀測頭分別布置在1點和2點并垂直于y向?qū)к壝�。設(shè)在1點的電感測微儀的測量值為d1，在2點的電感測微儀的測量值為d2，1、2兩點間沿x軸方向上的距離為L，則A點繞z軸的偏轉(zhuǎn)角εz(y)A為

    其它各角度誤差可用類似的方法測出。Εz(y)A測量結(jié)果見圖5a。此時，測量機(jī)的速度為100 mm/s，加速度為100 mm/s2。

    在測量過程中，我們發(fā)現(xiàn)導(dǎo)軌面的平面度對測量結(jié)果的準(zhǔn)確性有很大的影響。為了消除這一誤差因素，我們對A點繞z軸的偏轉(zhuǎn)角εz(y)A進(jìn)行了準(zhǔn)靜態(tài)測量。這時測量機(jī)的速度為10 mm/s，加速度為10 mm/s2。測量結(jié)果見圖5b。

圖5　測量結(jié)果

    對比圖5a和圖5b的結(jié)果，我們可以看出，起動和減速階段的慣性力造成了滑架的偏轉(zhuǎn)。這一偏轉(zhuǎn)量將導(dǎo)致測頭位置處的位移誤差。同樣，由于導(dǎo)軌面的平面度也可導(dǎo)致滑架的偏轉(zhuǎn)，從而引起測頭位置處的位移誤差。在本實驗中，由于導(dǎo)軌面的平面度導(dǎo)致滑架的最大偏轉(zhuǎn)為0.012 mrad，最大動態(tài)偏轉(zhuǎn)誤差為0.018 mrad。

3　氣浮導(dǎo)軌剛度測量

    可以看出，氣浮導(dǎo)軌仍然是剛度較差的環(huán)節(jié)，其主要原因是氣膜剛度較差。在實際的研究過程中，為了了解氣浮導(dǎo)軌的剛度，往往采取直接測量的方法。目前，關(guān)于氣體軸承剛度的實驗研究，仍停留在靜態(tài)測試階段。三坐標(biāo)測量機(jī)在實際應(yīng)用中，速度是有一定限制的。即使在高速運(yùn)動過程中（v=1000 mm/s），速度與音速相比仍然比較低，所以可以用靜態(tài)剛度來代替這里的動態(tài)剛度［3］。

圖6　測量裝置

    氣浮導(dǎo)軌力矩剛度的測量裝置見圖6。用不同重量的重塊進(jìn)行加載。滑架的轉(zhuǎn)角變化用電感測微儀測出。測量方法與圖4所示相同。設(shè)力矩變化為ΔM，轉(zhuǎn)角變化為Δθ，則力矩剛度為

4　結(jié)論

   三坐標(biāo)測量機(jī)的動態(tài)誤差主要是由各構(gòu)件繞氣浮導(dǎo)軌連接處的偏轉(zhuǎn)和各運(yùn)動構(gòu)件本身的彎曲變形造成的。當(dāng)測量速度較低時，這一誤差往往很小，可以忽略不計。當(dāng)測量速度較高時，尤其在高速掃描測量中，這一誤差對測量結(jié)果影響較大。在對動態(tài)誤差的實驗研究中，往往測量各構(gòu)件繞氣浮導(dǎo)軌連接處的偏轉(zhuǎn)角誤差是比較容易而且可行的。各構(gòu)件的動態(tài)偏轉(zhuǎn)誤差綜合起來，成為測頭位置處的動態(tài)位移誤標(biāo)測量機(jī)坐構(gòu)，得到動的具體結(jié)差。因此，要針對三態(tài)偏轉(zhuǎn)誤差和測頭處的動態(tài)位移誤差的轉(zhuǎn)換關(guān)系。運(yùn)用本文提出的方法，可以方便地估計三坐標(biāo)測量機(jī)動態(tài)誤差的大小。在三坐標(biāo)測量機(jī)的設(shè)計和測量方案的優(yōu)化中都有很大作用。