基于三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)的四次EB樣條曲線曲面的應(yīng)用

摘要　文章討論了四次EB樣條的構(gòu)造、算法及性質(zhì)，論述了三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)檢測(cè)數(shù)據(jù)的四次EB樣條曲線曲面的擬合，運(yùn)用快速迭代算法建立了被測(cè)零件輪廓面的誤差評(píng)定模型。并給出了應(yīng)用實(shí)例。

關(guān)鍵詞　三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)　EB樣條　誤差評(píng)定

Application of quartic BE-spline based on CMM

Chen Hua, et al

　　在復(fù)雜機(jī)械零件（如弧面分度凸輪）、模具等帶有復(fù)雜三維空間曲面零件制造、測(cè)量及CAD的造型中，常常需要對(duì)三維空間曲面進(jìn)行描述與控制，從而在計(jì)算機(jī)屏幕上生成圖形或滿足NC加工的需要、或?qū)�測(cè)量的數(shù)據(jù)擬合成樣條曲面（曲線）以滿足誤差評(píng)定的需要。本文討論的四次EB樣條曲線曲面通過(guò)引入幾何意義十分明顯的可調(diào)參數(shù)，大大提高了曲線曲面的擬合程度。

1　四次EB樣條

1.1　四次EB樣條曲線

　　四次EB樣條曲線P_i(t)是由基本曲線G_i(t)經(jīng)調(diào)配曲線F_i(t)調(diào)配而成的。即

P_i（t）=G_i（t）+kF_i（t）

(0≤t≤1;i=1,2…，n-3) (1)

　　引入k值可以通過(guò)改變它對(duì)曲線的形狀進(jìn)行調(diào)整，使其與特征多邊形的差異可大可小。當(dāng)k=0時(shí)，P_i（t）=G_i（t），四次EB樣條曲線就是基本曲線，成為特征頂點(diǎn)的插值曲線�；�本曲線段的起始點(diǎn)和終止點(diǎn)通過(guò)相應(yīng)的特征多邊形頂點(diǎn)r_i+1,r_i+2;如果按某種方式拓寬兩個(gè)控制頂點(diǎn)r₀和r_n+1,則可使曲線｛G_i（t）｝通過(guò)所有的給定頂點(diǎn)r₁,r₂，…，r_n。如果這n個(gè)給定點(diǎn)是某條曲線上的型值點(diǎn)，則曲線就是這n個(gè)型值點(diǎn)的插值曲線^［1］。

　　四次EB樣條曲線的矢值方程式為

1.2　四次EB樣條曲面

　　四次EB樣條曲面可以看作是U、V兩個(gè)方向EB樣條曲線的直積。給定m×n個(gè)空間位置向量r_i,j(i=1,2,…,n;j=1,2,…,m)構(gòu)造曲面，其矢值方程式為

1.3　四次EB樣條的特性^［2］

　　（1）由于在EB樣條方程中引入了一個(gè)幾何意義比較明顯的參量K，使設(shè)計(jì)者能直觀地對(duì)樣條曲線（曲面）的形狀進(jìn)行調(diào)整，從而使特征多邊形的差異可大可小。

　�。�2）四次EB樣條可應(yīng)用給定的一些特殊的特征頂點(diǎn)來(lái)生成含有直線和尖點(diǎn)的曲線。

　�。�3）四次EB樣條曲線段端點(diǎn)處的切矢僅與基本曲線段有關(guān)，而與調(diào)配曲線段無(wú)關(guān)。

　　（4）用四次EB樣條曲線（曲面）作插值曲線（曲面）時(shí)，其設(shè)計(jì)方法和計(jì)算方法均不變，僅需將參量K取為零，這對(duì)計(jì)算程序的編制極為有用。

　　(5)當(dāng)K=1/6時(shí)，四次EB樣條曲線（曲面）又成了B樣條曲線（曲面）。由此可見(jiàn)，四次EB樣條曲線（曲面）是B樣條曲線（曲面）的拓廣。

2　測(cè)量數(shù)據(jù)擬合曲面的誤差評(píng)定

　　在評(píng)定三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)的擬合曲面與實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)間的誤差時(shí)，需計(jì)算空間實(shí)測(cè)點(diǎn)到擬合曲面的距離。本文運(yùn)用了一種快速迭代收斂算法^［3，4］求空間任一點(diǎn)到擬合曲面的距離。

　　設(shè)P（x，y，z）為曲面外空間一點(diǎn)，求P點(diǎn)到參數(shù)曲面∑s（u，w）的距離。其中Q_i（u_i,w_i）為曲面上任意一點(diǎn)，作為P點(diǎn)在曲面上的映射點(diǎn)，是迭代初始點(diǎn)。Q_i+1（u_i+1,w_i+1）為P點(diǎn)在曲面上的垂足。∑s(u,w)為Q_i點(diǎn)的切平面，S為PQ_i+1在切平面上的交點(diǎn)。當(dāng)Q_i與Q_i+1重合時(shí),PQ_i+1為所求點(diǎn)到曲面的距離。Q^u_i,Q^w_i為Q_i在u,w方向上的兩個(gè)切向量。因此有

　　若PQ_i+1為點(diǎn)到曲面的距離，則必然S與Q_i+1重合，S亦為該點(diǎn)在曲面上的垂足。根據(jù)微分幾何點(diǎn)到平面的距離為最小距離的條件得

　　搜索方法是，求出（11）式中的Δu,Δw。當(dāng)（Δu、Δw）＞ε時(shí)（ε是任意給定小的正數(shù)），用Q_i+1代替Q_i進(jìn)行下一輪計(jì)算。當(dāng)（Δu、Δw）＜ε時(shí)迭代停止，此時(shí)

PQ_i+1=P-Q_i+1=P-Q_i=P-S=d

由于規(guī)定曲面法矢指向?qū)嶓w之外，所以P在實(shí)體之外時(shí)d＞0,P在實(shí)體之內(nèi)時(shí)d＜0。

3　應(yīng)用實(shí)例

　　弧面分度凸輪機(jī)構(gòu)（見(jiàn)圖2）由于結(jié)構(gòu)緊湊,傳遞扭矩大，特別適用于高速、高精度分度。因其分度運(yùn)動(dòng)曲線，可設(shè)計(jì)成適于各種工作場(chǎng)合的最優(yōu)運(yùn)動(dòng)曲線，從而在運(yùn)動(dòng)平穩(wěn)性、降噪、延長(zhǎng)機(jī)構(gòu)使用壽命等方面都具有良好性能。圖3是由四次EB樣條生成的弧面分度凸輪張量積曲面的輪廓面光照?qǐng)D，其形狀為一空間螺旋帶。

　　在秦川機(jī)床廠和慶安公司的協(xié)助下，分別用LK及UKM三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)，以徑向、旋向兩種方法對(duì)弧面分度凸輪的樣件進(jìn)行了測(cè)量。根據(jù)以上的測(cè)量和誤差評(píng)定方法，用Visual C++開(kāi)發(fā)了弧面分度凸輪的誤差評(píng)定軟件。取樣件設(shè)計(jì)參數(shù)見(jiàn)附表。圖4所示為樣件在R=57mm的螺旋線上的誤差曲線圖。該零件設(shè)計(jì)要求：曲線誤差± 0.05mm，輪廓度公差帶為0.1mm的雙向等距配置。對(duì)該零件的評(píng)定結(jié)果為：凸輪半徑57mm的螺旋線輪廓度誤差0.147mm，面輪廓度誤差 0.165mm。

測(cè)量樣件設(shè)計(jì)參數(shù)表

圖4　旋向掃描螺旋線誤差曲線