數(shù)控編程中列表曲線的數(shù)學(xué)處理

在實(shí)際生產(chǎn)中（特別是航空工業(yè)），許多零件的輪廓形狀是由實(shí)驗(yàn)方法來確定的，如飛機(jī)的機(jī)翼，它的形狀是由風(fēng)洞試驗(yàn)得到的。下圖就是一種用列表曲線表述外緣輪廓的零件。這種以列表坐標(biāo)點(diǎn)來確定輪廓形狀的零件稱為列表曲線（或曲面）零件，所確定的曲線（或曲面）稱為列表曲線（或曲面）。它的特點(diǎn)是列表曲線上各坐標(biāo)點(diǎn)之間沒有嚴(yán)格一定的聯(lián)結(jié)規(guī)律，而在加工中則往往要求曲線能平滑得通過各坐標(biāo)點(diǎn)，并規(guī)定了加工精度。計算機(jī)在對列表曲線進(jìn)行數(shù)學(xué)處理時通常要經(jīng)過插值、擬合于光順3個步驟，下面簡單介紹這幾個步驟。

（1）插值  在許多場合下，產(chǎn)品或工件的輪廓形狀往往很難找到一個具體的數(shù)學(xué)表達(dá)式把它們描述出來，通常只能通過實(shí)驗(yàn)或數(shù)學(xué)計算得到一系列互不相同的離散點(diǎn)xi（x=0,1，2…）上的函數(shù)值f(xi) = yi(i=0,1,2, …n)，即得到一張xi與yi對應(yīng)的數(shù)據(jù)表。通常把這種用數(shù)據(jù)表格形式給出的函數(shù)y=f(x)稱為列表函數(shù)。由于受某些條件的限制，實(shí)驗(yàn)觀測得到的離散點(diǎn)常常滿足不了實(shí)際加工的需要，這時就必須在所給函數(shù)表中再插入一些所需要的中間值，這就是通常所說的“插值”。

插值的基本思路是先設(shè)法對列表函數(shù)f(x)構(gòu)造一個簡單函數(shù)y=p(x)作為近似表達(dá)式，然后再計算p(x)的值來得到f(x)的近似值。

幾種常見的插值方法有拉格朗日插值法、牛頓插值法和樣條插值法等。

（2）擬合  擬合也稱逼近，在實(shí)際工程中，因?qū)嶒?yàn)數(shù)據(jù)常帶有測試誤差，上述插值方法均要求所得曲線通過所有的型值點(diǎn)，反而會使曲線保留著一切測試誤差，特別是當(dāng)個別誤差較大時，會使插值效果顯得很不理想。因此，在解決實(shí)際問題時，可以考慮放棄擬合曲線通過所有型值點(diǎn)的這一要求，而采用別的方法構(gòu)造近似曲線，只要求它盡可能反映出所給數(shù)據(jù)的走勢即可。如常用擬和方法之一的最小二乘法，就是尋求將擬合誤差的平方和達(dá)到最小值(最優(yōu)近似解)來對曲線進(jìn)行近似擬合的。上面提到的插值，擬合過程等，在數(shù)控加工的編程工作中，一般均被稱為第一次逼近（或稱第一次數(shù)學(xué)描述），由于受數(shù)控機(jī)床控制功能的限制，第一次逼近所取得的結(jié)果一般都不能直接用于編程，而必須取得逼近列表曲線的直線或圓弧數(shù)據(jù)，這一擬合過程在編程中被稱為第二次逼近（或稱為第二次數(shù)學(xué)描述）。

目前常用的擬和方法有圓弧樣條擬合列表曲線和雙圓弧樣條擬合列表曲線兩種方法。

（3）光順

為了降低在流體中運(yùn)動物體（如飛機(jī)、船舶、汽車等）的運(yùn)動阻力，其輪廓外形不但要求做得更流線一些，而且要求美觀，看上去舒服順眼，因此就構(gòu)成了光順的概念�？梢姡�“光順”實(shí)際上是個工程上的概念，因光順要求光滑，但光滑并不等于光順，所以不能與數(shù)學(xué)上的“光滑”概念等同。

光順的條件包括兩個方面的要求：其一是光滑，至少一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)；其二是曲線走勢，其凹凸應(yīng)符合設(shè)計目的。但大量實(shí)踐表明，僅滿足上述兩個必要條件，尚不能獲得滿意結(jié)果，故還應(yīng)增加光順的充分條件，即：曲線的曲率大小變化要均勻。

光順問題是計算機(jī)輔助設(shè)計與制造（CAD/CAM）提出的專門課題，也是一個非常復(fù)雜，難度較大的問題。目前對曲線與曲面的光順方法很多，在數(shù)控加工實(shí)踐中常用的是“局部回彈法”。