數(shù)控編程中非圓曲線的數(shù)學(xué)處理

非圓曲線包括除圓以外的各種可以用方程描述的圓錐二次曲線(如：拋物線、橢圓、雙曲線)、阿基米德螺線、對(duì)數(shù)螺旋線及各種參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程所描述的平面曲線與列表曲線等等。數(shù)控銑床在加工上述各種曲線平面輪廓時(shí)，一般都不能直接進(jìn)行編程，而必須經(jīng)過(guò)數(shù)學(xué)處理以后，以直線一圓弧逼近的方法來(lái)實(shí)現(xiàn)。但這一工作一般都比較復(fù)雜，有時(shí)靠手工處理已經(jīng)不大可能，必須借助計(jì)算機(jī)作輔助處理，最好是采用計(jì)算機(jī)自動(dòng)編程高級(jí)語(yǔ)言來(lái)編制加工程序。

處理用數(shù)學(xué)方程描述的平面非圓曲線輪廓圖形，常采用相互連接的弦線逼近和圓弧逼近方法，下面將分別進(jìn)行介紹。

（1）弦線逼近法  一般來(lái)說(shuō)，由于弦線法的插補(bǔ)節(jié)點(diǎn)均在曲線輪廓上，容易計(jì)算，程編也簡(jiǎn)便一些，所以常用弦線法來(lái)逼近非圓曲線，其缺點(diǎn)是插補(bǔ)誤差較大，但只要處理得當(dāng)還是可以滿足加工需要的，關(guān)鍵在于插補(bǔ)段長(zhǎng)度及插補(bǔ)誤差控制。由于各種曲線上各點(diǎn)的曲率不同，如果要使各插補(bǔ)段長(zhǎng)度均相等，則各段插補(bǔ)的誤差大小不同。反之，如要使各段插補(bǔ)誤差相同，則各插補(bǔ)段長(zhǎng)度不等。下面是常用的兩種處理方法。

 1）等插補(bǔ)段法

等插補(bǔ)段法是使每個(gè)插補(bǔ)段長(zhǎng)度相等，因而插補(bǔ)誤差補(bǔ)等。編程時(shí)必須使產(chǎn)生的最大插補(bǔ)誤差小于允差的1/2～1/3，以滿足加工精度要求。一般都假設(shè)最大誤差產(chǎn)生在曲線的曲率半徑最小處，并沿曲線的法線方向計(jì)算，見(jiàn)圖所示。這一假設(shè)雖然不夠嚴(yán)格，但數(shù)控加工實(shí)踐表明，對(duì)大多數(shù)情況是適用的。

2)等插補(bǔ)誤差法

等插補(bǔ)誤差法是使各插補(bǔ)斷的誤差相等，并小于或等于允許的插補(bǔ)誤差，這種確定插補(bǔ)段長(zhǎng)度的方法稱為“等插補(bǔ)誤差法”。顯然，按此法確定的各插補(bǔ)段長(zhǎng)度是不等的，因此又叫“變步長(zhǎng)法”。這種方法的優(yōu)點(diǎn)是插補(bǔ)段數(shù)目比上述的“等插補(bǔ)段法”少。這對(duì)于一些大型和形狀復(fù)雜的非圓曲線零件有較大意義。

 對(duì)于曲率變化較大的曲線，用此法求得的節(jié)點(diǎn)數(shù)最少，但計(jì)算稍繁。

(2)圓弧逼近法

曲線的圓弧逼近有曲率圓法、三點(diǎn)圓法和相切圓法等方法。三點(diǎn)圓法是通過(guò)已知的三個(gè)節(jié)點(diǎn)求圓，并作為一個(gè)圓程序段。相切圓法是通過(guò)已知的四個(gè)節(jié)點(diǎn)分別作兩個(gè)相切的圓，編出兩個(gè)圓弧程序段。這兩種方法都必須先用直線逼近方法求出各節(jié)點(diǎn)，再求出各圓，計(jì)算較繁瑣。

上面講述的幾種逼近計(jì)算中，只是計(jì)算了曲線輪廓的逼近線段或逼近圓弧段，還需應(yīng)用等距線或等距圓的數(shù)學(xué)方法計(jì)算刀具中心的各節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)，作為編程數(shù)據(jù)。